Méthode de résolution de Gauss

 

On souhaite résoudre un système d'équations en utilisant la méthode de Gauss.

Rappel théorique

Soit à résoudre le système gauss pour gauss
A un moment de la résolution, le système est devenu gauss

gauss

Alors gauss s'obtient à l'aide des formules

gauss

avec gauss

Pour ceux qui seraient encore hermétiques à la notation indicielle, l'exemple théorique suivant vous permettra sans doute de retrouver les relations précédentes.

Soit le système de 3 équations à 3 inconnues suivant :

gauss

Posons gauss
Alors, en divisant la première équation par le coefficient de x1 (appelé premier pivot) on obtient :

gauss

En posant gauss on obtient gauss
ou encore gauss que l'on reporte dans les équations suivantes :

gauss

On peut alors définir de nouveaux coefficients :

gauss

ce qui permet d'écrire le systéme

gauss

On continue en divisant la seconde équation par le coefficient de x2 (second pivot) ce qui donne :

gauss

alors, si l'on pose gauss on en déduit gauss ou encore gauss
x2 est remplacé dans la dernière équation pour donner gauss
puis si l'on définit gauss on obtient le système linéaire triangulaire final

gauss

que l'on résoud facilement en partant de la dernière équation.

Méthodologie

On définit :
     une fonction nommée Initialisation où la matrice A et le second membre seront définis.
     une fonction nommée Triang qui va permettre (si tout va bien) d'obtenir un système triangulaire.
     une fonction nommée Resol qui va permettre de résoudre le système triangulaire.

Algorithmes

Programme Principal :
     Initialiser A et B.
     Triangulariser le système.
     Si OK Résoudre sinon la matrice est singulière.
     Si OK afficher les résultats sinon résolution impossible.

Triangularisation par Pivot de Gauss

Résolution d'un systéme linéaire triangulaire :

Remarque : Erreurs d'arrondis
Même si la matrice A est singulière, les erreurs d'arrondis rendent gauss
Il faudrait se fixer un nombre réel positif EPS et tester chaque valeur calculée de pivot. (on pourrait choisir EPS = 10-6)
Dans les cas extrèmes, les calculs seraient à vérifier!

Traduction en php

Conclusion

On devrait trouver réellement
1 au lieu de 0.96362091988414
2 au lieu de 1.7707214980161
3 au lieu de 2.9552952069758
-1 au lieu de -0.9882001385068
0 au lieu de -0.04949513887029

 


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