Page de Jean-Paul Molina

Calcul d'intégrale

 

L'objectif est d'élaborer un programme de calcul approché d'intégrales de fonctions par découpage de l'intervalle d'intégration en sous-intervalles, et à substituer un polynôme à la fonction à intégrer sur chacun de ces sous-intervalles.
Un rappel de quelques méthodes est effectué.
La méthode qui sera utilisée est la méthode de Romberg et l'on verra pour quelle raison.

Rappels théoriques

Hypothèses :

- l'intervalle d'intégration est un segment [ a , b ].

- la fonction est définie en tout point et intégrable au sens de Riemann sur [ a , b ].

- on pose h = (b-a) / d n où d représente le degré du polynôme et n le nombre de sous-intervalles.

Quelques Méthodes de résolution :

Méthode des Trapèzes
Elle utilise un polynôme de degré d=1 pour l'interpolation.
La fonction est remplacée par un segment de droite sur chaque sous-intervalle.
Dans ce cas, on a (n+1) points avec
Par conséquent, sur l'intervalle l'intégrale est approchée par

Finalement, l'intégrale I vaut

Méthode de Simpson
Elle utilise un polynôme de degré d=2 pour l'interpolation.
La fonction est remplacée par un arc de parabole sur chaque sous-intervalle.
Dans ce cas, on a (2n+1) points avec

Par conséquent, sur l'intervalle l'intégrale est approchée par

Finalement, l'intégrale I vaut

On démontre que la différence entre la valeur exacte de l'intégrale et la valeur calculée est proportionnelle à

Méthode de Villarceau
Elle utilise un polynôme de degré d=4 pour l'interpolation.
Par conséquent, sur l'intervalle l'intégrale est approchée par

Finalement, l'intégrale I vaut

On démontre que la différence entre la valeur exacte de l'intégrale et la valeur calculée est proportionnelle à

Inconvénients
Les erreurs numériques dues aux méthodes précédentes peuvent annuler la précision qu'elles apportent dans l'approche de la valeur de l'intégrale.
En général, on utilise une vingtaine d'intervalles avec la méthode de Villarceau et une centaine avec la méthode de Simpson, ce qui assure un bon compromis entre erreur de méthode et erreurs numériques.
D'une façon générale, on ne connaît pas la précision du résultat.

Méthode de Romberg
Cette méthode permet de choisir à priori la précision du résultat : les itérations sont effectuées jusqu'à ce que la précision demandée soit atteinte.
La méthode se fonde sur une adaptation de la méthode des trapèzes.
On considère que les hypothèses définies précédemment demeurent valables.
Etant donné un pas h, une estimation de l'intégrale I est obtenue par la méthode des trapèzes.
Si l'on divise le pas par 2, l'estimation sera plus précise.
De même, on peut calculer Cette suite converge vers I.
On démontre que l'on peut obtenir une deuxième suite pour laquelle le terme est une meilleure approximation de l'intégrale que

On peut ensuite obtenir une troisième suite telle que :
Et d'une manière générale :
D'où le tableau suivant :

On démontre que converge bien plus rapidement vers I que
Pratiquement, on commence par calculer par la méthode des trapèzes.
On calcule ensuite et l'on déduit puis
D'une façon générale, on obtient le tableau d'ordre (n+1) à partir du tableau d'ordre n en calculant et en déduisant les où k ∈ [1 , n+1]

Le calcul est terminé lorsque la différence entre est inférieure à une limite fixée.

Algorithme de la Méthode de Romberg

On se propose de calculer une valeur approchée de π à partir de l'intégrale

Programme principal

- Demander les bornes d'intégration: noms de variables a et b.

- Demander la précision souhaitée : nom de variable EPS.
différence entre deux estimations successives qui provoque l'arrêt des itérations.

- Demander le nombre minimal d'itérations : nom de variable iter_min.
permet d'éviter la sortie prématurée.

- Demander le nombre maximal d'itérations : nom de variable iter_max.
c'est le nombre d'itérations au delà duquel l'ordinateur abandonne :
le temps de calcul maximal varie comme
La valeur 12 est considérée comme raisonnable.

Fonction à intégrer

Définir une fonction f(x) qui représente la fonction à intégrer.

Méthode des Trapèzes

définir une fonction tr :
        entrée : le nombre de sous-intervalles n
        sortie : la valeur de la fonction
Cette fonction servira pour le calcul de . On pourra choisir ici

fonction tr( nn )
        s ← 0
        si ( nn > 1 ) alors
                pour i de 1 à nn-1 faire
                #1
                        x ← a + i*h
                        s ← s + f(x)
                1#
        retourne h * s + (h/2)* ( f(a) + f(b) )

Méthode de Romberg

Outre le calcul proprement dit, il s'agira d'écrire à l'écran :
        - le numéro de l'itération et la valeur de l'intégrale à ce moment.
        - la valeur finale.
        - la précision réellement atteinte.

fonction romberg()
        t(0,0) ← (h/2)* ( f(a) + f(b) )
        pour q de 1 à iter_max-1 faire
        #1
                écrire q et t(q-1,0)
                h ← h/2
                t(0,q) ← tr(1<<q)
                k ← 1
                pour i de 1 à q faire
                #2
                        k ← k*4
                        j ← q-i
                        t(i,j) ← ( k - t(i-1,j+1) ) / (k-1)
                2#
                precision ← | t(q,0) - t(q-1,0) |
                si (precision < eps) et (q >= iter_min) alors retourne t(q,0)
        1#
        si (precision > eps)
        #3
                écrit 'précision non vérifiée'
                retourne 0
        3#

Traduction en php

Résultats

Vous devez avoir ce qui suit à l'écran :
Borne inférieure : 0
Borne supérieure : 1
Précision souhaitée : 1e-6
Nombre mini d'itérations : 6
Nombre maxi d'itérations : 12
q = 1 => 3.000000000000
q = 2 => 3.133333333333
q = 3 => 3.142117647059
q = 4 => 3.141585783762
q = 5 => 3.141592665278
q = 6 => 3.141592653638
La valeur de l'intégrale est 3.141592653590
La précision est 4.85239e-11